掃き出し法で連立方程式を解く方法と応用

掃き出し法の基本と応用

掃き出し法の基本原理と連立方程式の解き方

掃き出し法は、連立一次方程式を解くための効率的なアルゴリズムです。この方法は、方程式の係数を行列形式で表現し、行基本変形を繰り返すことで解を導き出します。

 

基本的な手順は以下の通りです。

1. 連立方程式を拡大係数行列に変換する
2. 行基本変形を用いて行列を簡約化する
3. 簡約化された行列から解を読み取る

例えば、次の連立方程式を考えてみましょう。
$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 4x-y=1\end{array}$${2x+3y=84x−y=1
この方程式を拡大係数行列で表すと。
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 8\\ 4& -1& 1\end{array}\right)$$(243−181)
この行列に対して行基本変形を適用していきます。

 

1. 第1行を2で割る。

   $$\left(\begin{array}{ccc}1& 3\mathrm{/}2& 4\\ 4& -1& 1\end{array}\right)$$(143/2−141)

2. 第2行から第1行の4倍を引く。

   $$\left(\begin{array}{ccc}1& 3\mathrm{/}2& 4\\ 0& -7& -15\end{array}\right)$$(103/2−74−15)

3. 第2行を-7で割る。

   $$\left(\begin{array}{ccc}1& 3\mathrm{/}2& 4\\ 0& 1& 15\mathrm{/}7\end{array}\right)$$(103/21415/7)

4. 第1行から第2行の3/2倍を引く。

   $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 13\mathrm{/}7\\ 0& 1& 15\mathrm{/}7\end{array}\right)$$(100113/715/7)

これにより、x = 13/7, y = 15/7 という解が得られます。

 

掃き出し法の利点は、複数の未知数を含む方程式を系統的に解けることです。また、コンピュータでの実装も容易であり、大規模な連立方程式の解法にも適しています。

 

掃き出し法における行列の簡約化と前進消去・後退代入

掃き出し法の核心部分は、行列の簡約化プロセスです。このプロセスは主に前進消去と後退代入の2つの段階に分けられます。

 

1. 前進消去（Forward Elimination）
   • 目的：行列の左下部分をゼロにする
   • 手順。

     a. 最左列の対角成分を1にする
     b. その列の下の要素をゼロにする
     c. 次の列に移動し、繰り返す

2. 後退代入（Back Substitution）
   • 目的：行列の右上部分をゼロにする
   • 手順。

     a. 最右列から開始
     b. 上の行の要素をゼロにしていく

これらの操作を通じて、最終的に単位行列に近い形（簡約行列標準形）を得ることができます。

 

例えば、3x3の行列を簡約化する過程を見てみましょう。
$$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 8\\ -3& -1& 2& -11\\ -2& 1& 2& -3\end{array}\right)$$2−3−21−11−1228−11−3
前進消去。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1\mathrm{/}2& -1\mathrm{/}2& 4\\ 0& 1& -1\mathrm{/}2& 1\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right)$$1001/210−1/2−1/2141−1
後退代入。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right)$$10001000112−1
この結果から、x = 1, y = 2, z = -1 という解が得られます。

 

掃き出し法の効率性は、これらの操作を系統的に行えることにあります。特に大規模な方程式系では、コンピュータを用いた数値計算において非常に有用です。

 

神戸大学の線形代数学講義ノートでは、掃き出し法の詳細な解説と応用例が提供されています。

掃き出し法の計算量と数値的安定性の考察

掃き出し法の効率性を評価する上で、計算量と数値的安定性は重要な要素です。

 

1. 計算量
   • n×n行列の場合：O(n³)
   • 大規模な行列では計算時間が急増
   • 並列計算による高速化が可能
2. 数値的安定性
   • 浮動小数点演算による誤差の蓄積
   • ピボット選択の重要性
   • 条件数の高い行列での注意点

数値的安定性を向上させるためのテクニック。

• 部分ピボット選択：各列で最大の絶対値を持つ要素を選ぶ
• 完全ピボット選択：行列全体で最大の絶対値を持つ要素を選ぶ
• スケーリング：各行を適切にスケーリングして数値の範囲を調整

例えば、次の行列を考えてみましょう。
$$\left(\begin{array}{cc}0.001& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$(0.001111)
この行列は条件数が高く、通常の掃き出し法では数値的に不安定になる可能性があります。部分ピボット選択を適用すると。
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0.001& 1\end{array}\right)$$(10.00111)
この操作により、数値的安定性が大幅に向上します。

 

大規模な行列や特殊な構造を持つ行列に対しては、掃き出し法の変形版や他のアルゴリズム（例：LU分解、QR分解）が用いられることもあります。これらの方法は、特定の問題に対してより効率的または安定的な解を提供することができます。

 

JStor上の論文「Numerical Stability in Solving Linear Systems」では、線形システムを解く際の数値的安定性について詳細な分析が提供されています。

掃き出し法の応用：逆行列の計算と連立方程式の一般解

掃き出し法は、単に連立方程式を解くだけでなく、様々な線形代数の問題に応用できます。特に重要な応用として、逆行列の計算と連立方程式の一般解の導出があります。

 

1. 逆行列の計算
   • 手順。

     a. 元の行列Aと単位行列Iを横に並べる
     b. 掃き出し法を適用し、左側をIに変換
     c. 右側に現れた行列がA⁻¹

例：2×2行列の逆行列を求める
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$$A=(2113)
拡大行列。
$$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 3& 0& 1\end{array}\right)$$(21131001)
掃き出し法適用後。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3\mathrm{/}5& -1\mathrm{/}5\\ 0& 1& -1\mathrm{/}5& 2\mathrm{/}5\end{array}\right)$$(10013/5−1/5−1/52/5)
よって、A⁻¹ = \begin{pmatrix}
3/5 & -1/5 \
-1/5 & 2/5
\end{pmatrix}

2. 連立方程式の一般解
   • 手順。

     a. 拡大係数行列を簡約行列標準形に変換
     b. 自由変数を特定
     c. 基本解と特殊解を求める

例：次の連立方程式の一般解を求める
$$\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x-y+z=3\\ x+y+2z=4\end{array}$$⎩⎨⎧x+2y−z=12x−y+z=3x+y+2z=4
拡大係数行列。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 1& 2& 4\end{array}\right)$$1212−11−112134
簡約行列標準形。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$100010001111
この場合、一意解 x = 1, y = 1, z = 1 が得られます。

 

もし自由変数がある場合、それらをパラメータとして表現し、一般解を導出します。

 

掃き出し法のこれらの応用は、線形代数学の基礎的な問題解決に広く用いられています。特に、逆行列の計算は多くの数学的および工学的応用（例：信号処理、制御理論）で重要な役割を果たします。

 

MITのオープンコースウェアでは、Gilbert Strangによる線形代数の講義が公開されており、掃き出し法の高度な応用について学ぶことができます。

掃き出し法の歴史と数学教育における位置づけ

掃き出し法は、数学の歴史の中で重要な位置を占めており、その起源は古代にまで遡ります。同時に、現代の数学教育においても重要な役割を果たしています。

 

1. 歴史的背景
   • 古代中国：九章算術（紀元前1世紀頃）で類似の方法が記述
   • 19世紀：カール・フリードリヒ・ガウスによる体系化
   • 20世紀：コンピュータの発展と共に数値計算で重要性が増加
2. 数学教育での位置づけ
   • 線形代数学の基礎的トピック
   • 問題解決能力の育成に貢献
   • 抽象的思考と具体的計算のバランス

掃き出し法の教育的価値。

• 代数的思考の訓練
• マトリックス操作の理解
• コンピュータアルゴリズムの基礎

例えば、高校数学での2変数の連立方程式から、大学での多変数システムの解析まで、掃き出し法は幅広い教育段階で活用されています。

 

具体的な教育例。

1. 高校数学。

   $$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-y=1\end{array}$${2x+y=5x−y=1
   この簡単な例でも、掃き出し法の基本原理を学ぶことができます。

    

2. 大学数学。

   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5