行列積は線形代数において最も重要な演算の一つです。2つの行列A(m×n)とB(n×p)の積C=ABは、m×pの行列となります。ここで重要なのは、行列Aの列数と行列Bの行数が一致していなければならないということです。
行列積の計算方法は以下のようになります。
例えば、2×2の行列A、Bの積を考えてみましょう。
A = [a b; c d]、B = [e f; g h] とすると、
AB = [ae+bg af+bh; ce+dg cf+dh]
となります。
行列積の重要な性質として、一般に交換法則は成立しません。つまり、AB ≠ BA となることが多いのです。これは行列が単なる数ではなく、線形写像を表現するものだからです。
行列積の定義は一見複雑に思えますが、実は深い意味があります。なぜ単純に成分同士の掛け算ではないのでしょうか？
その理由は、行列を「線形写像の表現」と考えたときに、行列積が線形写像の合成に対応するようにするためです。つまり、行列AとBがそれぞれ線形写像を表すとき、その合成写像はABという行列積で表されるのです。
具体的には、行列積ABを上記のように定義すると、任意のベクトルxに対して以下の性質が成り立ちます。
(AB)x = A(Bx)
これは「Bでxを変換した後にAで変換する」という操作が、「ABでxを変換する」ことと同じになるという、非常に便利な性質です。この性質があるからこそ、線形変換を行列で表現することが有用になるのです。
行列の積が交換法則を満たさないのも、この観点から理解できます。現実世界でも、「まずAの操作をしてからBの操作をする」ことと「まずBの操作をしてからAの操作をする」ことは、一般に異なる結果になります。
行列積の計算は、行列のサイズが大きくなると非常に計算量が増えます。n×nの行列同士の積は、素朴なアルゴリズムではO(n³)の計算量が必要です。そのため、効率的な計算方法やツールが重要になります。
Excelを用いた行列積の計算
Excelでは、MMULT関数を使って簡単に行列積を計算できます。手順は以下の通りです。
MATLABによる行列計算
MATLABは行列計算に特化したプログラミング言語で、単に「A*B」と書くだけで行列積を計算できます。また、行列式(det)、逆行列(inv)、固有値(eig)なども簡単に計算できます。
プログラミング言語での実装
Python（NumPy）、C++、Fortranなどのプログラミング言語でも行列積を効率的に計算するライブラリが提供されています。特に、BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）と呼ばれる行列計算のための標準的なライブラリは多くの言語から利用可能です。
例えば、BLASの行列積ルーチンDGEMMは以下のような形式で使用します。
C = alpha * A * B + beta * C
ここで、A, B, Cは行列、alpha, betaはスカラー係数です。
行列積は理論上の概念にとどまらず、様々な分野で実用的な応用があります。
コンピュータグラフィックス
3Dグラフィックスでは、物体の回転、拡大縮小、移動などの変換を行列で表現し、その合成を行列積で計算します。例えば、物体を回転させた後に移動させる操作は、回転行列と移動行列の積として表されます。
機械学習と深層学習
ニューラルネットワークの各層の計算は本質的に行列積です。入力ベクトルに重み行列を掛け、バイアスを加えて活性化関数を適用するという操作が、ネットワークの基本構造となっています。
量子力学
量子状態の変化は行列（演算子）によって記述され、複数の操作の合成は行列積として表されます。
ネットワーク解析
グラフ理論では、隣接行列の累乗が頂点間のパスの数を表すなど、行列積を用いた解析が行われます。
これらの応用からも分かるように、行列積を含む線形代数は、現代の科学技術の基盤となる重要な分野です。大学での数学教育においても、線形代数は微積分と並んで最も基本的かつ重要な科学の言語として位置づけられています。
標準的な行列積の計算量はO(n³)ですが、より効率的なアルゴリズムも研究されています。1969年にVolker Strassenが発表したStrassenのアルゴリズムは、O(n^2.807)の計算量を実現しました。これは、7回の掛け算と18回の加減算で2×2行列の積を計算する方法を再帰的に適用するものです。
その後も研究は進み、現在の理論的な最速アルゴリズムはO(n^2.373)程度の計算量を持ちますが、実装の複雑さから実用的ではない場合が多いです。
実際の計算では、キャッシュの効率的な利用やSIMD命令の活用など、ハードウェアの特性を考慮した最適化が重要になります。例えば、行列をブロック分割して計算することで、キャッシュヒット率を向上させる方法があります。
また、大規模な行列計算では並列計算が効果的です。GPUを用いた行列計算は、機械学習の分野で特に重要な役割を果たしています。
MATLABの行列計算性能に関する詳細な解説
行列積の計算は単純な操作の繰り返しですが、その効率化は計算機科学の重要なテーマの一つであり続けています。特に近年のAI技術の発展に伴い、より高速な行列計算の需要は増加しています。
行列積は代数的な定義だけでなく、幾何学的な解釈も持っています。これを理解することで、行列積の本質をより直感的に把握できるようになります。
2次元や3次元の空間では、行列は線形変換（回転、拡大縮小、せん断など）を表します。例えば、2×2行列は2次元平面上のベクトルをどのように変換するかを記述します。
行列積ABは、「まずBの変換を適用し、次にAの変換を適用する」という合成変換を表します。例えば、回転行列Rと拡大行列Sの積RS「まず回転してから拡大する」という操作を表します。
特に重要なのは、行列の列（または行）の幾何学的な意味です。n×n行列Aの第j列は、単位ベクトルejがAによってどのように変換されるかを表します。この視点から見ると、行列積ABの第j列は、Bの第j列をAで変換した結果と解釈できます。
このような幾何学的解釈は、行列積の計算方法を覚えるだけでなく、なぜそのような計算が必要なのかを理解する助けになります。また、線形代数の他の概念（固有値、固有ベクトル、特異値分解など）の理解にもつながります。
行列積の幾何学的な意味を理解することは、単に計算技術を身につけるだけでなく、線形代数の本質的な理解につながる重要なステップです。特に、コンピュータグラフィックスや機械学習などの応用分野では、この幾何学的直感が問題解決に大きく貢献します。